matematiksel yapıların eşdeğer tanımları ne demek?

Matematiksel yapılar farklı şekillerde tanımlanabilir ama bu tanımlar genellikle eşdeğerdir. Örneğin:

• Grup: Grup, bir kümenin üzerinde tanımlanmış bir işlem ile oluşturulmuş bir matematiksel yapıdır. Bu işlem, grup şartlarını sağlamalıdır (asosyatiflik, öğenin varlığı ve ters elemanın varlığı). Ancak gruplar, diğer şekillerde de tanımlanabilir, örneğin; gruplar, bir sembolik sistemde yer alan farklı sembollerin birleştirilmesi olarak da düşünülebilir.

• Vektör uzayı: Vektör uzayı, bir kümenin üzerinde tanımlanmış bir toplama işlemi ve bir skalara çarpma işlemiyle oluşturulmuş bir matematiksel yapıdır. Bu işlemlerin, vektör uzayı şartlarını karşılaması gerekmektedir (toplama işlemi, vektör uzayı şeklini korur ve skalara çarpma işlemi, dağılmalıdır). Ancak vektör uzayları, bazı durumlarda sadece toplama işlemiyle de tanımlanabilir.

• Halka: Halka, bir kümenin üzerinde tanımlanmış iki işlem ile oluşturulmuş bir matematiksel yapıdır. Bu işlemler, halka şartlarını karşılamalıdır (halka, toplama işlemi altında bir Abel grubu oluşturmalıdır ve çarpma işlemi altında bir yüzeyel gösterim oluşturmalıdır). Ancak halkalar, diğer şekillerde de tanımlanabilir, örneğin; çarpma işleminin distribütif olması yeterli olabilir.

Bu gibi matematiksel yapıların eşdeğer tanımları, matematiğin farklı alanlarında kullanılan yöntemleri de yansıtmaktadır. Çeşitli matematiksel yapıları, farklı şekillerde tanımlayarak, matematikte farklı modelleme yöntemlerini de ele alınmış olur.